admin / 13.10.2018

Центробежная сила автомобиля

Центробежная сила

Классическая механика

d ( m v → ) d t = F → {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (m{\vec {v}})}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}}

История…

Фундаментальные понятия

Пространство · Время · Масса· Скорость · Сила · Механическая работа · Энергия · Импульс

Учёные

Галилей · Кеплер · Ньютон · Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер · Лагранж · Гамильтон · Коши

См. также: Портал:Физика

Эта статья должна быть полностью переписана. На странице обсуждения могут быть пояснения.

Центробе́жная си́ла — составляющая фиктивных сил инерции, которую вводят при переходе из инерциальной системы отсчёта в соответствующим образом вращающуюся неинерциальную. Это позволяет в полученной неинерциальной системе отсчёта продолжать применять законы Ньютона для расчёта ускорения тел через баланс сил.

Зачастую это бывает удобно. Например, когда вращается целиком вся лаборатория, может быть более удобным рассматривать все движения относительно неё, введя лишь дополнительно силы инерции, в том числе центробежную, действующие на все материальные точки, чем учитывать постоянное изменение положения каждой точки относительно инерциальной системы отсчета.

Часто, особенно в технической литературе, во вращающуюся с телом неинерциальную систему отсчёта переходят неявно, и говорят о проявлениях закона инерции как о центробежной силе, действующей со стороны движущегося по круговой траектории тела на вызывающие это вращение связи, и считают её по определению равной по модулю центростремительной силе и всегда направленной в противоположную ей сторону.

Однако в общем случае, когда мгновенный центр поворота тела по дуге окружности, которой аппроксимируется траектория в каждой её точке, может не совпадать с началом вектора силы, вызывающей движение, неверно называть действующую на связь силу силой центробежной. Ведь есть ещё составляющая силы связи, направленная по касательной к траектории, и эта составляющая будет изменять скорость движения тела по ней. Поэтому некоторые физики вообще избегают использовать термин «центробежная сила», как ненужный.

Формулы

Обычно понятие центробежной силы используется в рамках классической (Ньютоновской) механики, которой касается основная часть данной статьи (хотя обобщение этого понятия и может быть в некоторых случаях достаточно легко получено для релятивистской механики).

По определению, центробежной силой называется сила инерции (то есть в общем случае — часть полной силы инерции) в неинерциальной системе отсчета, не зависящая от скорости движения материальной точки в этой системе отсчета, а также не зависящая от ускорений (линейных или угловых) самой этой системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета.

Для материальной точки центробежная сила выражается формулой:

F → = − m ] = m ( ω 2 R → − ( ω → ⋅ R → ) ω → ) , {\displaystyle {\vec {F}}=-m\left\right]=m\left(\omega ^{2}{\vec {R}}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {R}}\right){\vec {\omega }}\right),}

где:

F → {\displaystyle {\vec {F}}} — центробежная сила приложенная к телу, m {\displaystyle \ m} — масса тела, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} — угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной (направление вектора угловой скорости определяется по правилу буравчика), R → {\displaystyle {\vec {R}}} — радиус-вектор тела во вращающейся системе координат.

Эквивалентное выражение для центробежной силы можно записать как

F → = m ω 2 R 0 → {\displaystyle {\vec {F}}=m\omega ^{2}{\vec {R_{0}}}}

если использовать обозначение R 0 → {\displaystyle {\vec {R_{0}}}} для вектора, перпендикулярного оси вращения и проведенного от неё к данной материальной точке.

Центробежная сила для тел конечных размеров может быть рассчитана (как это обычно делается и для любых других сил) суммированием центробежных сил, действующих на материальные точки, являющиеся элементами, на которые мы мысленно разбиваем конечное тело.

Вывод

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью v → n , {\displaystyle {\vec {v}}_{n},} а сама система движется поступательно с линейной скоростью v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} в инерциальной системе координат и одновременно вращается с угловой скоростью ω → . {\displaystyle {\vec {\omega }}.}

Тогда линейная скорость тела в инерциальной системе координат равна:

v → = v → 0 + + v → n , {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+\left+{\vec {v}}_{n},}

где R → {\displaystyle {\vec {R}}} — радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета. Продифференцируем данное уравнение:

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

d d t v → 0 = a → 0 , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}_{0}={\vec {a}}_{0},}

d d t v → n = a → n + , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}_{n}={\vec {a}}_{n}+\left,}

Таким образом, получаем:

d d t v → = a → = a → 0 + a → n + + 2 + ] . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}={\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {a}}_{n}+\left+2\left+\left\right].}

Последнее слагаемое и будет центростремительным ускорением.

Раскрыв двойное векторное произведение и положив R → {\displaystyle {\vec {R}}} перпендикулярным оси вращения, получим:

a → c = ω → ( ω → R → ) − R → ω → 2 = − R → ω → 2 . {\displaystyle {\vec {a}}_{c}={\vec {\omega }}({\vec {\omega }}{\vec {R}})-{\vec {R}}{\vec {\omega }}^{2}=-{\vec {R}}{\vec {\omega }}^{2}.}

Элементарное рассмотрение и мотивировка

Вращение с точки зрения инерциальной системы отсчета

Стиль этого раздела неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Следует исправить раздел согласно стилистическим правилам Википедии.

Рассмотрим спицу, вращающуюся вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси с угловой скоростью ω {\displaystyle \omega } . Вместе со спицей вращается надетый на неё шарик, соединённый с осью пружиной.

Согласно второму закону Ньютона шарик займёт положение равновесия на таком расстоянии R {\displaystyle R} от центра диска, на котором сила натяжения пружины F p r {\displaystyle F_{\mathrm {pr} }} оказывается равной произведению массы шарика m {\displaystyle m} на его ускорение a n = ω 2 R {\displaystyle a_{n}=\omega ^{2}R} :

F p r = − m ω 2 R = − m v 2 R {\displaystyle F_{\mathrm {pr} }=-m\omega ^{2}R=-m{\frac {v^{2}}{R}}} .

Связанная со спицей система отсчёта вращается по отношению к инерциальной системе. Относительно системы отсчёта, связанной со спицей, шарик покоится, хотя на него действует сила упругости пружины. Это не противоречит второму закону Ньютона, так как вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и соотношение F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} в ней не выполняется.

Вращение с точки зрения неинерциальной системы отсчёта. Сила инерции

Стиль этого раздела неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Следует исправить раздел согласно стилистическим правилам Википедии.

Для практических целей, однако, удобнее считать, что второй закон Ньютона выполняется и с точки зрения вращающейся системы отсчёта, введя для этого формально силу инерции F c f = − F p r = m ω 2 R {\displaystyle F_{\mathrm {cf} }=-F_{\mathrm {pr} }=m\omega ^{2}R} , действующую на шарик вдоль радиуса от центра диска наряду с реальной силой F p r {\displaystyle F_{\mathrm {pr} }} .

Силу инерции F c f {\displaystyle F_{\mathrm {cf} }} , вводимую во вращающейся системе отсчёта, называют центробежной силой. Эта сила действует на тело во вращающейся системе отсчёта, независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно неё со скоростью v {\displaystyle v} ’.

Следует иметь в виду, что для правильного описания движения тел во вращающихся системах отсчёта, кроме центробежной силы следует также вводить силу Кориолиса.

В литературе встречается и совсем другое понимание термина «центробежная сила». Так иногда называют реальную силу, приложенную не к совершающему вращательное движение телу, а действующую со стороны тела на ограничивающие его движение связи. В рассмотренном выше примере так называли бы силу, действующую со стороны шарика на пружину. (См., например, ниже ссылку на БСЭ.)

Центробежная сила как реальная сила

Центростремительная и центробежная силы при движении тел по круговым траекториям с общей осью вращения

Применяемый не к связям, а, наоборот, к поворачиваемому телу, как объекту своего воздействия, термин «центробежная сила» (букв. сила, приложенная к поворачивающемуся или вращающемуся материальному телу, заставляющая его бежать от мгновенного центра поворота), есть эвфемизм, основанный на ложном толковании первого закона (принципа Ньютона) в форме:

Всякое тело сопротивляется изменению своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения под действием внешней силы

Или ещё:

Всякое тело стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока не подействует внешняя сила.

Отголоском этой традиции и является представление о некоей силе, как о материальном факторе, реализующем это сопротивление или стремление. О существовании такой силы уместно было бы говорить, если бы, например, вопреки действующим силам, движущееся тело сохраняло бы свою скорость, но это не так.

Первый закон Ньютона, нередко называемый принципом и потому допускающим различия в словесной форме его выражения, сводится к утверждению, что природа вещей такова, что скорость движения материальной точки, как по величине, так и по направлению в некоторой системе отсчёта (сам Ньютон связывал её с эфиром, заполняющим всё пространство), остаётся постоянной, но начинает изменяться тотчас, как возникает на то причина, называемая силой.

Рассматриваемое тело с массой (точнее — инертной массой) m {\displaystyle m} приобретает отличающееся от нуля ускорение a {\displaystyle a} в тот же момент t = 0 {\displaystyle t=0} , когда начинает действовать на него сила F {\displaystyle F} (Второй закон Ньютона: F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} ). Однако для достижения отличающейся от нуля скорости v {\displaystyle v} требуется некоторое время t {\displaystyle t} в соответствии с определением импульса силы: t = m v / F {\displaystyle t=mv/F} . Или, иначе, скорость тела не изменяется сама по себе, без причины, но она начинает изменяться тотчас, как на него начинает действовать сила.

Использование термина «центробежная сила» правомочно тогда, когда точкой её приложения является не испытывающее поворот тело, а ограничивающее его движение связи. В этом смысле центробежная сила представляет собой один из членов в формулировке третьего закона Ньютона, антагониста центростремительной силе, вызывающей поворот рассматриваемого тела и к нему приложенной. Обе эти силы равны по величине и противоположны по направлению, но приложены к разным телам и потому не компенсируют друг друга, а вызывают реально ощутимый эффект — изменение направления движения тела (материальной точки).

Оставаясь в инерциальной системе отсчёта, рассмотрим два небесных тела, например, компонента двойной звезды с массами одного порядка величины M 1 {\displaystyle {M_{1}}} и M 2 {\displaystyle {M_{2}}} , находящихся на расстоянии R {\displaystyle R} друг от друга. В принятой модели эти звёзды рассматриваются как материальные точки и R {\displaystyle R} есть расстояние между их центрами масс. В роли связи между этими телами выступает сила Всемирного тяготения F G : G M 1 M 2 / R 2 {\displaystyle {F_{G}}:{GM_{1}M_{2}/R^{2}}} , где G {\displaystyle G} — гравитационная постоянная. Это — единственная здесь действующая сила, она вызывает ускоренное движение тел навстречу друг другу.

Однако, в том случае, если каждое из этих тел совершает вращение вокруг общего центра масс с линейными скоростями v 1 {\displaystyle {v_{1}}} = ω 1 {\displaystyle {\omega }_{1}} R 1 {\displaystyle {R_{1}}} и v 2 {\displaystyle {v_{2}}} = ω 2 {\displaystyle {\omega _{2}}} R 2 {\displaystyle {R_{2}}} , то подобная динамическая система будет неограниченное время сохранять свою конфигурацию, если угловые скорости вращения этих тел будут равны: ω 1 {\displaystyle {\omega _{1}}} = ω 2 {\displaystyle {\omega _{2}}} = ω {\displaystyle \omega } , а расстояния от центра вращения (центра масс) будут соотноситься, как: M 1 / M 2 {\displaystyle {M_{1}/M_{2}}} = R 2 / R 1 {\displaystyle {R_{2}/R_{1}}} , причём R 2 + R 1 = R {\displaystyle {R_{2}}+{R_{1}}=R} , что непосредственно следует из равенства действующих сил: F 1 = M 1 a 1 {\displaystyle {F_{1}}={M_{1}}{a_{1}}} и F 2 = M 2 a 2 {\displaystyle {F_{2}}={M_{2}}{a_{2}}} , где ускорения равняются соответственно: a 1 {\displaystyle {a_{1}}} = ω 2 R 1 {\displaystyle {\omega ^{2}}{R_{1}}} и a 2 = ω 2 R 2 {\displaystyle {a_{2}}={\omega ^{2}}{R_{2}}} .

Центростремительные силы, вызывающие движение тел по круговым траекториям равны (по модулю): F 1 {\displaystyle {F_{1}}} = F 2 {\displaystyle {F_{2}}} = F G {\displaystyle ={F_{G}}} . При этом первая из них является центростремительной, а вторая — центробежной и наоборот: каждая из сил в соответствии с Третьим законом является и той, и другой.

Поэтому, строго говоря, использование каждого из обсуждаемых терминов излишне, поскольку они не обозначают никаких новых сил, являясь синонимами единственной силы — силы тяготения. То же самое справедливо и в отношении действия любой из упомянутых выше связей.

Однако, по мере изменения соотношения между рассматриваемыми массами, то есть всё более значительного расхождения в движении обладающих этими массами тел, разница в результатах действия каждой из рассматриваемых тел для наблюдателя становится всё более значительной.

В ряде случаев наблюдатель отождествляет себя с одним из принимающих участие тел, и потому оно становится для него неподвижным. В этом случае при столь большом нарушении симметрии в отношении к наблюдаемой картине, одна из этих сил оказывается неинтересной, поскольку практически не вызывает движения.

> См. также

  • Сила Кориолиса
  • Инерция

Примечания

  1. Вне контекста физики/механики/математики, например, в философии, публицистике или художественной литературе, а также иногда и в разговорной речи, слова центробежная сила могут нередко употребляться просто как обозначение некоего влияния, направленного прочь от некоторого «центра»; в таком употреблении это может быть никак не связано не только с каким-либо вращением, но и с понятием силы, как оно употребляется в физике.
  2. С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.,1967 г. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы.
  3. Воспользуемся формулой центростремительного ускорения.
  4. 1 2 Физическая энциклопедия, т.4 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.494 и стр.495
  5. 1 2 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. и прим. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989
  6. Ключевым в этой формулировке является утверждение о наличии у предметов материального мира неких волевых качеств, что было в начале формирования научных представлений об окружающем мире весьма распространённым способом обобщения результатов наблюдения за явлениями природы и выяснения свойственных ей общих закономерностей . Примером такого анималистического представления о природе являлся бытовавший в натурфилософии принцип: «Природа боится пустоты», от которого пришлось отказаться после эксперимента Торричелли (Торричеллиева пустота)
  7. В связи с этим Максвелл заметил, что, с таким же успехом можно было бы сказать, что кофе сопротивляется тому, чтобы стать сладким, апеллируя к тому, что он становится сладким не сам по себе, а лишь после того, что в него положен сахар.
  8. С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.: «Наука», 1967 г.
  9. При этом в каждый малый момент времени каждое из тел будет приближаться к центру на такое расстояние, какое равно разности расстояний между его траекторией и касательной в точке наблюдения. Иными словами, тела падают друг на друга, но всегда промахиваются.

Вращательное движение

  1. Равномерное вращательное движение
  2. Центробежное ускорение
  3. Центробежная сила
  4. Градусы и радианы

Ранее рассматривались характеристики прямолинейного движения: перемещение, скорость, ускорение. Их аналогами при вращательном движении являются: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение.

  • Роль перемещения во вращательном движении играет угол;
  • Величина угла поворота за единицу времени — это угловая скорость;
  • Изменение угловой скорости за единицу времени — это угловое ускорение.

1. Равномерное вращательное движение

Во время равномерного вращательного движения тело совершает движение по окружности с одинаковой скоростью, но с изменяющимся направлением. Например, такое движение совершают стрелки часов по циферблату.

Допустим, шар равномерно вращается на нити длиной 1 метр. При этом он будет описывать окружность с радиусом 1 метр. Длина такой окружности: C = 2πR = 6,28 м

Время, за которое шар полностью делает один полный оборот по окружности, называется периодом вращения — T.

Чтобы вычислить линейную скорость шара, необходимо разделить перемещение на время, т.е. длину окружности на период вращения:
V = C/T = 2πR/T

Период вращения:
T = 2πR/V

Если наш шар будет делать один оборот за 1 секунду (период вращения = 1с), то его линейная скорость:
V = 6,28/1 = 6,28 м/с

2. Центробежное ускорение

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Составляющая вектора скорости, перпендикулярная радиусу вращения, является касательной к траектории движения и называется тангенциальной составляющей. Перпендикулярная ей компонента называется нормальной составляющей

Во время равномерного вращательного движения меняется только направление вектора скорости, но не величина! Поэтому линейное ускорение = 0. Изменение линейной скорости поддерживается центробежным ускорением, которое направлено к центру окружности вращения перпендикулярно вектору скорости — aц.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле: aц = V2/R

Чем больше линейная скорость тела и меньше радиус вращения, тем центробежное ускорение больше.

3. Центробежная сила

Из прямолинейного движения мы знаем, что сила равна произведению массы тела на его ускорение.

При равномерном вращательном движении на вращающееся тело действует центробежная сила:
Fц = maц = mV2/R

Если наш шарик весит 1 кг, то для удержания его на окружности понадобится центробежная сила:
Fц = 1·6,282/1 = 39,4 Н

С центробежной силой мы сталкиваемся в повседневной жизни при любом повороте.

Задача №1: расчитать, какую максимальную скорость может развить тело в повороте с радиусом 30 метров при коэффициенте трения 0,9, чтобы «вписаться» в этот поворот.

Сила трения должна уравновесить центробежную силу:
Fц = mV2/R; Fтр = μmg
Fц = Fтр; mV2/R = μmg
V = √μmgR/m = √μgR = √0,9·9,8·30 = 16,3 м/с = 58,5 км/ч

Ответ: 58,5 км/ч
Обратите внимание, что скорость в повороте не зависит от массы тела!

Наверняка вы обращали внимание, что некоторые повороты на шоссе имеют некоторый наклон внутрь поворота. Такие повороты «легче» проходить, вернее, можно проходить с бОльшей скоростью. Рассмотрим какие силы действуют на автомобиль в таком повороте с наклоном. При этом силу трения учитывать не будем, а центробежное ускорение будет компенсироваться только горизонтальной составляющей силы тяжести:

Fц = mV2/R или Fц = Fнsinα

В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести Fg = mg, которая уравновешивается вертикальной составляющей нормальной силы Fнcosα:
Fнcosα = mg, отсюда: Fн = mg/cosα

Подставляем значение нормальной силы в исходную формулу:
Fц = Fнsinα = (mg/cosα)sinα = mg·sinα/cosα = mg·tgα

Т.о., угол наклона дорожного полотна:
α = arctg(Fц/mg) = arctg(mV2/mgR) = arctg(V2/gR)

Опять обратите внимание, что в расчетах не участвует масса тела!

Задача №2: на некотором участке шоссе имеется поворот с радиусом 100 метров. Средняя скорость прохождения этого участка дороги автомобилями 108 км/ч (30 м/с). Каким должен быть безопасный угол наклона полотна дороги на этом участке, чтобы автомобиль «не вылетел» (трением пренебречь)?

α = arctg(V2/gR) = arctg(302/9,8·100) = 0,91 = 42°

Ответ: 42°. Довольно приличный угол. Но, не забывайте, что в наших расчетах мы не принимаем во внимание силу трения дорожного полотна.

4. Градусы и радианы

Многие путаются в понимании угловых величин.

При вращательном движении основной единицей измерения углового перемещения является радиан.

  • 2π радиан = 360° — полная окружность
  • π радиан = 180° — половина окружности
  • π/2 радиан = 90° — четверть окружности

Чтобы перевести градусы в радианы, необходимо значение угла разделить на 360° и умножить на 2π. Например:

  • 45° = (45°/360°)·2π = π/4 радиан
  • 30° = (30°/360°)·2π = π/6 радиан

Ниже в таблице представлены основные формулы прямолинейного и вращательного движения.

Прямолинейное движение Вращательное движение
s — линейное перемещение
V — линейная скорость
a — линейное ускорение
V = Δs/Δt
a = ΔV/Δt
s = V0(t1 — t0) + sa(t1 — t0)2
V12 — V02 = 2as
Θ — угловое перемещение
ω — угловая скорость
α — угловое ускорение
ω = ΔΘ/Δt
α = Δω/Δt
Θ = ω0(t1 — t0) + sα(t1 — t0)2
ω12 — ω02 = 2αΘ

Источник: https://prosto-o-slognom.ru/fizika/14_vrashenie.html

Рассмотрим вращение камня массой m на веревке (рис. 4.8).


Рис. 4.8

В каждый момент времени камень должен был бы двигаться прямолинейно по касательной к окружности. Однако он связан с осью вращения веревкой. Веревка растягивается, появляется упругая сила, действующая на камень, направленная вдоль веревки к центру вращения. Это и есть центростремительная сила (при вращении Земли вокруг оси в качестве центростремительной силы выступает сила гравитации).но так както

(4.5.2)
(4.5.3)

Центростремительная сила возникла в результате действия камня на веревку, т.е. это сила, приложенная к телу, – сила инерции второго рода. Она фиктивна – ее нет.

Сила же, приложенная к связи и направленная по радиусу от центра, называется центробежной.

Помните, что центростремительная сила приложена к вращающемуся телу, а центробежная сила – к связи.


Сила гравитационного притяжения направлена к центру Земли.
Сила реакции опоры (нормального давления) направлена перпендикулярно к поверхности движения.

Центробежная сила – сила инерции первого рода. Центробежной силы, приложенной к вращающемуся телу, не существует.

С точки зрения наблюдателя, связанного с неинерциальной системой отсчета, он не приближается к центру, хотя видит, что Fцс действует (об этом можно судить по показанию пружинного динамометра). Следовательно, с точки зрения наблюдателя в неинерциальной системе есть сила, уравновешивающая Fцс, равная ей по величине и противоположная по направлению:


т.к. an = ω2R (здесь ω – угловая скорость вращения камня, а υ – линейная), то

Fцб = m ω2R. (4.5.4)

Все мы (и физические приборы тоже) находимся на Земле, вращающейся вокруг оси, следовательно, в неинерциальной системе (рис 4.9).

Рис. 4.9

R = RЗ cosφ φ – широта местности); ω – угловая скорость вращения Земли.

Сила тяжести есть результат сложения двух сил: и , таким образом g (а значит и mg ) зависит от широты местности:

,

где g = 9,80665 м/с2 – ускорение свободного падения тела. Направлено g точно к центру только на полюсе и на экваторе.

Источник: http://ens.tpu.ru/posobie_fis_kusn/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B%20%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8/04-5-2.htm

FILED UNDER : Разное

Submit a Comment

Must be required * marked fields.

:*
:*