admin / 17.09.2018

Ротор

Математическое определение

Ротор векторного поля — есть вектор, проекция которого на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке.

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F — обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а — орты декартовых координат):

или

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Связанные определения

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным. Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).

Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля — см. ниже (Основные свойства).

Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым, такое поле не может быть потенциальным.

Обобщение

Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) следующее:

или

при индексах m и n от 1 до размерности пространства.

Это же может быть записано как внешнее произведение:

  • При этом ротор есть антисимметричное тензорное поле валентности два.
  • В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше.
  • Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству — если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Основные свойства

Свойства, непосредственно получаемые из обычных правил дифференцирования

  • Линейность:

для любых векторных полей F и G и для любых постоянных чисел a и b.

  • Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

  • Дивергенция ротора равна нулю:

или

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно вихрь некоторого поля G (векторного потенциала):

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля (то есть найдется такое , что F будет его градиентом).

  • (Следствие из свойств выше): два (и сколько угодно) различных векторных поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле, то есть на градиент некоторого скалярного поля.
  • Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющегося границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

Частный случай теоремы Стокса для плоской поверхности — содержание теоремы Грина.

Альтернативные определения

Все определения ротора, о которых будет говориться в данном параграфе полностью эквивалентны (по крайней мере для случая дифференцируемого векторного поля), и в качестве основного, в принципе, можно выбрать любое из них. Остальные тогда оказываются формулами, которые могут быть более удобны в том или ином случае.

Прежде всего, перечислим явно те варианты, которые уже упоминались в статье выше и могут при желании каждое играть роль определения ротора.

  • Классическое определение, приведённое в данной статье как основное (см.Математическое определение).
  • Вычислительная формула через производные компонент в декартовых координатах, приведённая там же.
  • Формула в параграфе Физическая интерпретация.

Кроме них полезно упомянуть:

  • Выражение через символ Леви-Чивиты, дающее наиболее компактную координатную запись, а во втором варианте — общую формулу для любых криволинейных координат (ограничиваясь, правда, только размерностью 3):
    • В варианте для ортонормированного базиса (обычных декартовых координат):
    • В тензорной записи для произвольных координат (в том числе косоугольных и криволинейных координат; используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):

где — метрический тензор в представлении с верхними индексами. В последнем случае (общем) важно упомянуть, что под значком имеется в виду именно тензор, включая множитель

  • Интересную и довольно красивую форму определения, иногда используемую в литературе:

Примеры

  • В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение

Простой пример

Рассмотрим векторное поле F, зависящее от координат x и y так:

.

  • В отношении этого примера нетрудно заметить, что , где r — радиус-вектор, а , то есть поле F можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси z (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси z). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта).
  • z-компоненту поля F будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от z) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

  • угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно , точно совпала с тем, что указано в параграфе Физическая интерпретация, то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта. (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат ).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора F поэтому не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении -z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и -z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по -z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Основная статья: Формулы векторного анализа

Рассмотрим пример ∇ × . Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

Если v и ∇ поменять местами:

что является фейнмановской записью с нижним индексом ∇F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример ∇ × . Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v → ∇.

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение).
  • Для векторного поля v скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, rot v одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения ().
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
  • Четвёртое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

Важный контринтуитивный пример

Довольно важно иметь в виду, что в принципе (хотя и далеко не всегда) направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (будем говорить для конкретности о поле скоростей жидкости), которое кажется очевидным по направлению искривления линий тока. Он может даже иметь противоположное направление (а в частном случае ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности).

Дело в том, что ротор может быть представлен как сумма двух слагаемых, одно из которых зависит от кривизны линий тока, а второе от зависимости скорости течения от перпендикулярной (в данной точке) скорости течения координаты.

Рассмотрим частный, но хорошо иллюстрирующий сказанное пример. Пусть поле скорости течения жидкости v таково, что на любом фиксированном расстоянии r от некоторого фиксированного центра (поместим туда для удобства и начало координат) — жидкость течет точно по окружности с центром в начале координат и радиусом r (будем для краткости говорить в двумерных терминах; для перехода к трехмерной формулировке этого примера надо заменить слово «центр» на слово «ось»).

Пусть скорость движения по каждой такой окружности (равная абсолютной величине вектора v) зависит только от r :

Пусть направление вращения — против часовой стрелки (угловая скорость — вдоль оси z).

Нам будет достаточно вычислить ротор только вдоль оси x. Для этого выразим v (его компоненты) через координаты вблизи оси x.

(Учитывая то, что вблизи оси x можем считать, что координата y << x, а при дифференцировании нам нужен будет только первый порядок, мы отбросили всё, меньшее y/x, и воспользовались тем, что вследствие этого x≈r).

Вычислим теперь прямо компоненту ротора на ось z:

что даст, если подставить сюда приведённые выше,

Отсюда видно, что

  • Если v(r) ~ 1/r, то rot v = 0.
  • Если v(r) убывает с r быстрее, чем 1/r, то проекция ротора на ось z отрицательна! (это и есть контринтуитивный пример).

Таким образом, мы видим, что в принципе просто из того, куда закручены линии тока не очевидно, куда направлен ротор такого течения. То есть не очевидно, в какую сторону будут вращаться пылинки в таком потоке. Зато достаточно ясно, что если где-то есть очень резкое убывание v(r), то направление ротора в этом месте будет направлено против того, которое соответствует направлению закручивания линий тока.

Этот частный пример означает, что и в общем случае однозначной связи между направлением закручивания линий поля и направлением вектора его ротора — нет.

Необходимо однако сделать две оговорки:

  1. всё сказанное не означает, что однозначной связи между направлением закручивания линий поля и направлением вектора ротора этого поля не может быть для каких-то конкретных полей (подчиняющихся определённым уравнениям) и даже, быть может, для большинства практически важных полей в простых ситуациях. Однако если такая связь для каких-то (и даже для многих) полей имеет место, то
    1. во-первых, это есть следствие не определения ротора, а других уравнений (которые могут быть справедливы для какого-то конкретного поля и какой-то конкретной ситуации, а могут — для других полей и ситуаций — и не быть),
    2. во-вторых, даже если эти другие уравнения в простейшем случае дадут такую связь, то при усложнении ситуации она может пропасть. Например, при переходе от случая однородной среды к неоднородной; так, даже если для однородной жидкости в бесконечном свободном пространстве такая связь имела бы место, то для вращения жидкости в неподвижном сосуде, скажем круглом стакане, очевидно вблизи стенок ротор будет противоположен направлению вращения жидкости в целом.
  2. исходя из теоремы Стокса можно утверждать, что если (например) жидкость вращается по окружности, то где-то внутри этой окружности есть точки, в которых ротор имеет знак (направление), совпадающий с направлением циркуляции жидкости. В нашем примере быстроубывающего v(r), рассмотренном выше в этой главе, такая область находится вблизи центра (в предельном случае — в самом центре ротор даже становится бесконечным). Однако мы утверждаем (как это и видно из примера), что это совпадение не обязано существовать ни вблизи данной точки, ни даже везде внутри окружности данного радиуса (а лишь где-то внутри неё, хотя интеграл по всей её внутренности и даст таки это совпадение, то есть «в среднем» — направление совпадает; однако в большинстве точек — может быть и противоположным).

Примечания

  1. Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» (возможно, из-за неблагозвучности: англ. rot — гниль, гниение).
  2. О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.
  3. Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
  4. См. далее.
  5. Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
  6. То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
  7. 7,0 7,1 Для произвольной размерности — см. параграф «Обобщение».
  8. Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) — ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость не будет уже константой, однако будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).
  9. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

  • Векторный анализ
  • Теорема Грина
  • Формулы векторного анализа

Источник — «http://wp.wiki-wiki.ru/wp/index.php?title=Ротор_(математика)&oldid=36754»

  • Последнее изменение этой страницы: 01:20, 12 апреля 2016.
  • Политика конфиденциальности
  • Описание Википедии
  • Отказ от ответственности
  • Копия Википедии на технологической базе проекта ВикиЗнание

Определение

Ротор rot a {\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {a} } векторного поля a {\displaystyle \mathbf {a} } — есть вектор, проекция которого rot n ⁡ a {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} } на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

rot n ⁡ a = lim Δ S → 0 ∮ L ⁡ a ⋅ d r Δ S {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}} .

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении n {\displaystyle \mathbf {n} } , контур L обходился по часовой стрелке.

Формула ротора в декартовых координатах

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F — обозначено векторное поле с декартовыми компонентами ( F x , F y , F z ) {\displaystyle (F_{x},F_{y},F_{z})} , а e x , e y , e z {\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}} — орты декартовых координат):

rot ( F x e x + F y e y + F z e z ) = {\displaystyle \operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})=} = ( ∂ y F z − ∂ z F y ) e x + ( ∂ z F x − ∂ x F z ) e y + ( ∂ x F y − ∂ y F x ) e z ≡ {\displaystyle =\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv } ≡ ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) e x + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) e y + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) e z . {\displaystyle \equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}.}

или

( rot ⁡ F ) x = ∂ y F z − ∂ z F y ≡ ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z {\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}} ( rot ⁡ F ) y = ∂ z F x − ∂ x F z ≡ ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x {\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}} ( rot ⁡ F ) z = ∂ x F y − ∂ y F x ≡ ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y {\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}}

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

rot ⁡ F = ∇ × F = ( ∂ x ∂ y ∂ z ) × F = | e x e y e z ∂ x ∂ y ∂ z F x F y F z | {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\\partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}

(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Формула ротора в криволинейных координатах

Основная статья: Оператор набла в различных системах координат

Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трехмерном пространстве является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты (используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):

( r o t v ) i = ε i j k g j m ∂ ∂ x m v k , {\displaystyle (\mathrm {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k},}

где ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} — координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель g , {\displaystyle {\sqrt {g}},} g j m {\displaystyle g^{jm}} — метрический тензор в представлении с верхними индексами, g ≡ d e t ( g r s ) {\displaystyle g\equiv \mathrm {det} (g_{rs})}

Это выражение может быть также переписано в виде:

( r o t v ) n = g n i ε i j k g j m ∂ ∂ x m v k {\displaystyle (\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}}

Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах

rot ⁡ A = rot ⁡ ( q 1 A 1 + q 2 A 2 + q 3 A 3 ) = {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=} = 1 H 2 H 3 q 1 + {\displaystyle ={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left\mathbf {q_{1}} \ +} + 1 H 3 H 1 q 2 + {\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left\mathbf {q_{2}} \ +} + 1 H 1 H 2 q 3 {\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left\mathbf {q_{3}} }

Обобщения

  • Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричное тензорное поле валентности два, компоненты которого равны:

( rot ⁡ F ) i j = ∂ i F j − ∂ j F i ≡ ∂ F j ∂ x i − ∂ F i ∂ x j {\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}} Эта же формула может быть записана через внешнее произведение с оператором набла: rot ⁡ F = ∇ ∧ F {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F} }

  • Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).
  • Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} ) введена структура комплексного пространства (с координатой z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} ) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции f ( z ) {\displaystyle f(z)} , тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной

∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂ x − i ∂ ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{\frac {\partial {}}{\partial y}}\right)} ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так: rot ⁡ f = 2 Im ⁡ ∂ f ∂ z {\displaystyle \operatorname {rot} f=2\operatorname {Im} {\frac {\partial f}{\partial z}}} , div ⁡ f = 2 Re ⁡ ∂ f ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} f=2\operatorname {Re} {\frac {\partial f}{\partial z}}} .

  • Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей F {\displaystyle F} и G {\displaystyle G} и для любых чисел (констант) a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b}

rot ⁡ ( a F + b G ) = a rot ⁡ F + b rot ⁡ G {\displaystyle \operatorname {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {rot} \mathbf {F} +b\operatorname {rot} \mathbf {G} }

  • Если φ {\displaystyle \varphi } — скалярное поле (функция), а F {\displaystyle F} — векторное, тогда:

rot ⁡ φ F = grad ⁡ φ × F + φ rot ⁡ F {\displaystyle \operatorname {rot} \varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operatorname {rot} \mathbf {F} } ∇ × ( φ F ) = ( ∇ φ ) × F + φ ( ∇ × F ) {\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )} .

  • Если поле F {\displaystyle F} потенциально, его ротор равен нулю (поле F {\displaystyle F} — безвихревое):

F = grad ⁡ φ ⇒ rot ⁡ F = 0 {\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}

  • Обратное верно локально: если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле φ {\displaystyle \varphi \ } , что F {\displaystyle F} будет его градиентом):

rot ⁡ F = 0 ⇒ F = grad ⁡ φ {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi } Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально — на градиент некоторого скалярного поля).

  • Дивергенция ротора равна нулю (поле ротора бездивергентно):

div ⁡ rot ⁡ F = 0 {\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0} ∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}

  • Обратное свойство также выполняется локально — если поле F {\displaystyle F} бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля G {\displaystyle G} , называемого его векторным потенциалом:

div ⁡ F = 0 ⇒ F = rot ⁡ G {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} \mathbf {G} } .

  • Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:

div ⁡ ( F × G ) = ( rot ⁡ F ) ⋅ G + F ⋅ rot ⁡ G {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operatorname {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} +\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {G} } Таким образом, если F {\displaystyle F} и G {\displaystyle G} — безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если F = ∇ f {\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f} , а G = ∇ g {\displaystyle \mathbf {G} =\nabla g} , легко найти векторный потенциал для F × G {\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} } : F × G = rot ⁡ ( f ∇ g ) {\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operatorname {rot} (f\nabla g)} . Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.

  • Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

rot ⁡ rot ⁡ F = grad ⁡ div ⁡ F − Δ F {\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\operatorname {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F} }

  • Ротор векторного произведения полей равен:

rot ⁡ ( F × G ) = ( div ⁡ G ) F − ( div ⁡ F ) G + ∇ G F − ∇ F G {\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F\times G} )=(\operatorname {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatorname {div} \mathbf {F} )\mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G} }

При движении сплошной среды распределение её скоростей вблизи точки О задаётся формулой Коши-Гельмгольца:

v ( r ) = v O + ω × r + ∇ φ + o ( r ) , {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\mathbf {r} ),}

где ω {\displaystyle \mathbf {\omega } } — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а φ {\displaystyle \varphi } — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор v O {\displaystyle \mathbf {v} _{O}} ), вращательного движения (вектор ω × r {\displaystyle \mathbf {\omega } \times \mathbf {r} } ) и потенциального движения — деформации (вектор ∇ φ {\displaystyle \nabla \varphi } ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство rot ⁡ v = 2 ω , {\displaystyle \operatorname {rot} ~\mathbf {v} =2\mathbf {\omega } ,} и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Теорема Стокса

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

∮ ∂ S ⁡ F ⋅ d l = ∫ S ( rot ⁡ F ) ⋅ d S {\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \mathbf {dS} }

Частный случай теоремы Стокса для плоской поверхности — содержание теоремы Грина.

  • В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение e x , e y , e z . {\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}.}

Рассмотрим векторное поле F, зависящее от координат x и y так:

F ( x , y ) = y e x − x e y {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=y\mathbf {e} _{x}-x\mathbf {e} _{y}} .

  • В отношении этого примера нетрудно заметить, что F = ω × r {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} } , где r — радиус-вектор, а ω = − 1 e z {\displaystyle \omega =-1\mathbf {e} _{z}} , то есть поле F можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси z (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси z). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта).
  • z-компоненту поля F будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от z) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

∇ × F = 0 e x + 0 e y + e z = − 2 e z {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+\left\mathbf {e} _{z}=-2\mathbf {e} _{z}}

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле ∇ × F {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} } оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

  • угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно rot ⁡ F / 2 {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} /2} , точно совпала с тем, что указано в параграфе Физическая интерпретация, то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта. (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат ∇ × F = 2 ω {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2\omega } ).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора F поэтому не слишком интересен:

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

F ( x , y ) = − x 2 e y {\displaystyle F(x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y}} .

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении -z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

∇ × F = 0 e x + 0 e y + ∂ ∂ x ( − x 2 ) e z = − 2 x e z {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} _{z}=-2x\mathbf {e} _{z}}

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и -z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по -z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение).
  • Для векторного поля v скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, rot v одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения ().
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
  • Четвёртое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

Нужно иметь в виду, направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (пусть это поле скоростей жидкости), которое представляется очевидным, соответствующим направлению течения. Он может иметь противоположное течению направление, и, в частности, ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности).

Рассмотрим следующий пример. Пусть поле скорости течения жидкости v определено формулой:

v = − f ( y ) e x {\displaystyle \mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x}} ,

тогда rot ⁡ v = f ′ ( y ) e z {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z}} .

Если f ( y ) > 0 {\displaystyle f(y)>0} , течение сносит частицу справа налево (то есть для наблюдателя сверху по оси z {\displaystyle z} — ПРОТИВ часовой стрелки), однако если f ′ ( y ) < 0 {\displaystyle f'(y)<0} и f ( y ) {\displaystyle f(y)} — убывающая функция, тогда ротор всюду направлен вниз, что означает, что каждая частица жидкости закручивается ПО часовой стрелке (при этом одновременно ещё и деформируясь).

  • Векторный анализ
  • Теорема Грина
  • Формулы векторного анализа

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80)

Значение слова &laquoротор»

  • Ро́тор — (от лат. roto — вращаться)
    В математике:
    Ротор — то же, что вихрь векторного поля, то есть вектор, характеризующий вращательное движение в данной точке векторного поля.
    Ротор многогранника — выпуклое тело способное свободно вращаться в многограннике постоянно касаясь всех его граней; см. тело постоянной ширины и фигура постоянной ширины.
    В медицине:
    Синдром Ротора — одна из четырёх форм синдрома гипербилирубинемии.
    В технике:
    Ротор — вращающаяся часть двигателей и рабочих машин, на которой расположены органы, получающие энергию от рабочего тела (например, ротор двигателя Ванкеля) или отдающие её рабочему телу (например, ротор роторного насоса). Ротор двигателей связан с ведущим валом, ротор рабочих машин — с приводным валом. Ротор выполняется в виде барабанов, дисков, колёс.
    Ротор — вращающаяся часть паровой турбины, компрессора, гидронасоса, гидромотора и т. д.
    Буровой ротор — механизм, являющийся многофункциональным оборудованием буровой установки, который предназначен для вращения бурильных труб и поддержания колонны бурильных или обсадных труб при свинчивании и развинчивании в процессе спуско-подъемных операций, при поисковом бурении и капитальном ремонте скважин. Привод — цепной или карданный. Роторное бурение.
    Ротор — устройство управления поворотом антенны в направлении приёма или передачи сигнала.
    Ротор — любое вращающееся тело в теории балансировки.
    Ротор — система вентилятора.
    В электротехнике:
    Ротор — вращающаяся часть электрической машины (генератора или двигателя переменного тока внутри неподвижной части — статора). Ротор асинхронной электромашины обычно представляет собой собранное из листовой электротехнической стали цилиндрическое тело с пазами для размещения обмотки. Ротор в электромашинах постоянного тока называется якорем.
    Ротор — автоматически управляемая машина (транспортное устройство, прибор), в которой заготовки двигаются вместе с обрабатывающими их орудиями по дугам окружности. Роторная печь. Роторный экскаватор. Роторная линия (комплекс роторов).
    В авиации:
    Ротор — несущий винт вертолёта.
    В ветроэнергетике:
    Ротор Дарье — составная часть вертикально-осевого ветрогенератора, крыльчатка которого представляет собой двояковыпуклые лопасти, закреплённые при помощи штанг на вертикально вращающейся оси.
    Ротор Савониуса — составная часть вертикально-осевого ветрогенератора в виде двух смещенных относительно друг друга полуцилиндрических лопастей и небольшого (10—15 % от диаметра лопасти) перекрытия, которые образуют параллельно оси вращения ротора.
    В судостроении:
    Ротор Флеттнера — «парусная мачта» или заменяющий паруса ротор (на судне их устанавливается несколько), с помощью которого судно приводится в движение посредством ветра, благодаря эффекту Магнуса. Роторное судно Флеттнера.
    Собственные имена:
    Ротор, Артуро (1907—1988) — филиппинский врач, государственный служащий, музыкант и писатель.
    РОТОР — Сетевой конкурс «Российский Онлайн ТОР».
    НПО «Ротор» — предприятие — разработчик и производитель гироскопических приборов для ракетно-космической техники (СССР, Россия).
    Приборостроительный завод «Ротор» — промышленное предприятие в Барнауле.
    «Ротор» — футбольный клуб из Волгограда.
    «Ротор-Волгоград» — пляжный футбольный клуб из Волгограда.
    «Ротор» — тренировочная база в Волгограде.
    «Ротор» — официальный журнал волгоградского футбольного клуба.
  • РОТОР (Российский Онлайн ТОР; произносится «ро́тор») — сетевой конкурс, организованный Международным союзом интернет-деятелей «ЕЖЕ». Впервые был проведён в 1999 году.
    Целями являются выявление значимых проектов и персоналий Рунета и определение тенденций его развития.
    Члены жюри РОТОРа, подписчики дискуссионного мейл-листа «ЕЖЕ», сами являются значимыми и опытными интернет-деятелями, авторами различных сетевых проектов, что придаёт конкурсу авторитетность.

Источник: Википедия

Источник: https://kartaslov.ru/%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80

Узлы электродвигателя

Вал ротора имеет цилиндрическую форму и производится из стали. Металлические стержни, замыкающиеся с двух сторон, дают ему название – короткозамкнутый ротор. Указанная конструкция обеспечивает высокую степень защиты, поскольку не возникает необходимость частого технического обслуживания устройства, нет нужды в замене подающих ток щеток и т.д.

Если присмотреться к фото ротора электродвигателя, то он напоминает клетку для белки, откуда и название «беличья клетка». Конструкция представляет собой собранные стальные листы небольшой толщины. В специальные пазы помещается обмотка, которая может быть нескольких типов.

Определяющее значение имеет ответ на вопрос о том, каков двигатель – фазного или короткозамкнутого типа. Большее распространение имеют последние конструкционные новинки. Стержни из меди, имеющие большую толщину, помещаются в пазы без дополнительной изоляции. Медные кольца позволяют соединить концы обмотки.

Бывают ситуации, когда «беличья клетка» получает альтернативу в виде литья. Таково в целом устройство ротора электродвигателя короткозамкнутого типа.

Однако существуют модели моторов переменного тока с роторами фазного типа. Их используют крайне редко, в основном, из-за предназначения для более мощных двигателей. Еще одна причина, по которой используют фазные модели – необходимость создания значительного усилия во время пуска.

К основным причинам поломки двигателя асинхронного типа относят износ подшипников, в которых осуществляется вращение вала. Центровка или балансировка ротора электродвигателя осуществляется за счет установленных в статоре крышек. Двигатели также имеют подшипники для облегчения вращательных движений.

Кроме того устройство подразумевает установку крыльчатки, обеспечивающей должное охлаждение двигателя. Статор имеет специальные ребра, улучшающие отдачу тепла от нагреваемого устройства. Именно так обеспечивается работа моторов переменного тока в нормальных тепловых условиях.

Полноценное проведение диагностического осмотра мотора

Для того, чтобы осмотреть статор и другие центральные элементы электродвигателя, используют специальные козлы, оснащенные двумя катками в верхней своей части. Последние упрощают вращение деталей.

Самостоятельный ремонт мотора следует начинать с тщательного изучения всей технической документации. Далее определяется степень износа подшипников, обнаруживаются и устраняются иные дефекты.

Проверить ротор двигателя необходимо на предмет состояния всех металлических элементов, крепления пластин к валу, качества замкнутой проводки и, наконец, должного функционирования вентиляторов.

Технические работы ведутся с использованием набора специальных ключей, обыкновенного тестера и механизмов для подъема. Главное не забыть отключить мотор от сети. Все узлы очищаются от слоя пыли при помощи щеточек и обдуваются сжатым воздухом. В дальнейшем мелкие детали и все их крепления желательно складывать в отдельный ящик, чтобы избежать пропажи.

Ротор электродвигателя разбирается с учетом следующих рекомендаций. Как только щит будет отделен от корпуса двигателя, его сдвигают вдоль вала, стараясь не повредить изоляцию обмоток. Для этих целей используют картон высокой плотности, размещая его между статором и ротором, а впоследствии укладывая на него детали.

С вала также снимаются пружины и подшипники. Демонтируется обмотка короткозамкнутого типа и сердечник. Главным требованием при выемке ротора является аккуратное движение вдоль оси.

При проверке вентиляторов обращают внимание на целостность лопастей и надежность их крепления. Делается процедура при помощи молотка. Дефектные детали заменяются. Нельзя нарушать балансировку, поэтому перед осмотром необходимо сделать заметку на роторе, чтобы при сборе каждый элемент встал на свое место.

Ремонт

Ремонтные работы всего устройства выполняются с целью восстановления его функциональности и работоспособности. Иногда требуется замена некоторых деталей. Например, при нагреве статора по разным причинам, может образоваться нагар на конструкции якоря электродвигателя.

Последовательность шагов тогда следующая:

  • демонтаж двигателя;
  • очистные работы;
  • разборка всех узлов;
  • восстановление поврежденных частей;
  • покраска;
  • сборка двигателя и проверка его в нагрузочном режиме.

Если оборудование представлено фазным типом, то требуются ремонтные работы отдельным его узлам, в том числе и щеточно-коллекторному.

Если стержень имеет трещины, то он подлежит восстановлению или замене. Делается это так: на месте трещины проводится надрез и высверливание отверстий от точки этого надреза до торца замыкающего кольца. Та часть, которая оказалась высверленной, заполняется медным сплавом.

Не стоит забывать и о проверке двигателя на обрыв и короткое замыкание. Сопротивление ротора и статора проверяются при помощи омметра, сверяясь при этом с техническими характеристиками в инструкции по эксплуатации. Однако прибор должен быть крайне чувствителен ввиду стремления сопротивления к нулю в обмотках мощных моделей моторов.

Короткозамкнутый ротор

Впаянные или залитые в поверхность сердечника и накоротко замкнутые с торцов двумя кольцами высокопроводящие медные (для машин большой мощности) или алюминиевые стержни (для машин меньшей мощности), играют роль электромагнитов с полюсами, обращенными к статору. Такая конструкция носит название «беличья клетка», данное ей русским электротехником М. О. Доливо-Добровольским.

Стержни обмотки не имеют какой-либо изоляции, так как напряжение в такой обмотке нулевое. Более часто используемый для стержней двигателей средней мощности, легко плавящийся алюминий, отличается малой плотностью и высокой электропроводностью. Для уменьшения высших гармоник электродвижущей силы (ЭДС) и исключения пульсации магнитного поля, стержни ротора имеют определенным образом рассчитанный угол наклона относительно оси вращения.

В двигателях малой мощности пазы сердечника, как правило, выполняют закрытыми: отделяющая ротор от воздушного зазора — стальная пластина позволяет дополнительно закрепить обмотки, но за счет некоторого увеличения их индуктивного сопротивления.

Фазный ротор

Характеризуется практически не отличающейся от обмотки статора трехфазной (в более общем случае — многофазной) уложенной в пазы сердечника обмоткой, концы которой соединены по схеме «звезда». Выводы обмоток присоединены к закрепленным на валу ротора контактным кольцам, к которым при пуске двигателя прижимаются и скользят неподвижные, соединенные с реостатом графитовые или металлографитовые щетки.

Для ограничения возникающих вихревых токов обычно бывает достаточно нанесенной на поверхность обмоток оксидной пленки, вместо изолирующих лаков.

Добавленный в цепь обмотки ротора трехфазный пусковой или регулировочный резистор, позволяет изменять активное сопротивление роторной цепи, способствуя уменьшению больших пусковых токов. Могут использоваться реостаты:

  • металлические проволочные или ступенчатые – с ручным или автоматическим переключением с одной ступени сопротивления на другую;
  • жидкостные, сопротивление которых регулируется глубиной погружения в электролит электродов.

Для увеличения долговечности щеток, некоторые модели фазных роторов оборудуются специальным короткозамкнутым механизмом, поднимающим после пуска двигателя щетки и замыкающим кольца.

Асинхронные двигатели с фазным ротором характеризуются более сложной конструкцией, чем с короткозамкнутым, но, в то же время, более оптимальными пусковыми и регулировочными характеристиками.

FILED UNDER : Разное

Submit a Comment

Must be required * marked fields.

:*
:*

Дифференциальное исчисление
Основное

Производная •</span> Дифференциал • Производная по направлению • Частная производная • Полная производная функции • Логарифмическая производная • Матрица Якоби • Матрица Гессе • Дифференциальная форма • Дифференциальное уравнение</td></tr><tr><th style=»white-space:nowrap;»>Частные виды</th><td style=»width:100%»> Абелев дифференциал • Производная Ли • Производная Дини • Производная Пинкерля • Производная Римана • Ковариантная производная • Производная Пеано • Производная Радона — Никодима</td></tr><tr><th style=»white-space:nowrap;»>Дифференциальные операторы
(в различных координатах)</th><td style=»width:100%»>

Первого порядка

Оператор набла • Градиент • Дивергенция • Ротор

Второго порядка
Высших порядков

</td></tr><tr><th style=»white-space:nowrap;»>Связанные темы</th><td style=»width:100%»>

Численное дифференцирование • Вариационное исчисление • Интеграл • Ряд Тейлора</td></tr></table>